Stefania Bellavia, Costanza Conti, Benedetta Morini, Alessandra Papini, Margherita Porcelli

Analisi Numerica e Ingegneria sono naturalmente strettamente correlate. Sin dall’inizio degli anni ’60 l’analisi numerica ha avuto un ruolo chiave nella risoluzione numerica di modelli matematici derivanti dall’ingegneria. Le simulazioni numeriche, ovvero la simulazione di particolari fenomeni mediante l’utilizzo di un computer, mantengono oggi un ruolo di fondamentale importanza per l’elevata potenza dei sistemi di calcolo attuali e il massiccio uso delle tecniche di intelligenza artificiale. Il passaggio dalla soluzione reale del problema alla sua approssimazione numerica si realizza attraverso diversi processi di semplificazione, ognuno dei quali inevitabilmente introduce degli errori. Tipicamente, si ricorre ad una discretizzazione del modello, ovvero ad una sua approssimazione in dimensione finita, e si troncano processi al limite. Infine, lo stesso elaboratore, dovendo operare in aritmetica finita, introduce errori di arrotondamento. Uno degli obiettivi degli analisti numerici è progettare algoritmi capaci di fornire un’approssimazione sufficientemente accurata della soluzione del problema reale.

Figura 88 – Flusso di processo per la soluzione di problemi complessi.

Il legame naturale tra Analisi Numerica e Ingegneria è rappresentato nel DIEF dalla presenza della sezione di Analisi Numerica. Analisti Numerici afferiscono a dipartimenti di Ingegneria a Firenze dal 1983 in occasione della creazione del Dipartimento di Energetica. Grazie alla volontà e all’impegno del Prof. Sergio Stecco, al quale il dipartimento venne intitolato dopo la sua scomparsa prematura, il Dipartimento di Energetica venne creato con l’obiettivo di unire competenze diversificate e capaci di affrontare aspetti termodinamici e fisici, matematici, meccanici, fluidodinamici, termici, chimici, impiantistici ed economici della conversione dell’energia. A testimonianza del radicamento della sezione di Analisi Numerica nel Dipartimento di Energetica, il Prof. Ferruccio Fontanella, ordinario di Analisi Numerica, fu Direttore del Dipartimento dal 1992 al 1998.

Gli Analisti Numerici che afferivano al Dipartimento di Energetica hanno poi aderito al Dipartimento di Ingegneria Industriale (DIEF) al momento della sua nascita. Attualmente la sezione di Analisi Numerica è costituita da 5 docenti strutturati, 2 Post-Doc, 2 studenti di dottorato.

La sezione di Analisi Numerica del DIEF si occupa principalmente dello studio e sviluppo di metodologie numeriche nell’ambito della teoria dell’approssimazione e dell’ottimizzazione continua, e collabora con i componenti del dipartimento nella loro applicazione a problemi ingegneristici. Più specificamente, i campi di ricerca relativi alla teoria dell’approssimazione sono l’approssimazione ed interpolazione di dati mediante splines, la modellazione geometrica per il CAGD, la generazione di griglie computazionali, lo studio di funzioni raffinabili, wavelets e frames. Nell’ambito dell’ottimizzazione continua, l’attività di ricerca svolta dal Gruppo di Numerical Optimization and Data Analysis (NODA) è principalmente rivolta a problemi di grandi dimensioni mono e multi obiettivo, inclusi quelli che nascono nell’apprendimento automatico, e la ricerca riguarda la risoluzione numerica con e senza derivate, la gestione di vincoli sulle variabili, la realizzazione di software numerico robusto, affidabile e ben documentato per problemi complessi che nascono in settori applicativi diversi.

La sezione si contraddistingue per la ricerca in contesto internazionale e ha collaborazioni continue e consolidate con le seguenti Università ed enti di Ricerca: University of Novi Sad, Department of Mathematics (accordo di Collaborazione Culturale e Scientifica), Institut National Polytechnique de Toulouse (INP), Francia (accordo di Collaborazione Culturale e Scientifica), Université Hassan-Ier, Marocco (accordo di Collaborazione Culturale e Scientifica), École Normale Supérieure de Lyon, Francia (Laboratoire de l’Informatique du Parallélisme), The University of Edinburgh, UK (School of Mathematics), Université de Mons, Belgio (Department of Mathematics and Operational Research), University of Antwerp, Belgio (Computational Mathematics group), Technische Universität Chemnitz, Germania (Department of Mathematics), Università di Passau, Germania (Faculty of Computer Science and Mathematics), University of Hohenheim, Germania (Institute of Applied Mathematics and Statistics), Universitat de Valencia, Spagna (Facultat de Matemàtiques), Georgia Institute of Technology, Georgia, USA (School of Mathematics), University of Houston, Texas, USA (School of Mathematics).

La collaborazione con i settori dell’ingegneria e della chimica del DIEF è consolidata e si svolge anche nell’ambito del trasferimento tecnologico e di progetti di ricerca. Le applicazioni in cui è stato portato un contributo matematico e numerico sono numerose e includono il contatto ruota-rotaia, le reti di distribuzione del gas, la ricostruzione di superfici 3D, l’imputazione di dati mancanti, il monitoraggio energetico mediante tecniche di intelligenza artificiale.

Mostriamo adesso alcuni esempi di collaborazioni con i colleghi del DIEF, senza dare dettagli tecnici, ma cercando di mostrare le sinergie presenti nel Dipartimento ed il potenziale che i modelli matematici e il calcolo scientifico offrono oggi per trattare le complessità dei problemi dell’ingegneria industriale.

Dai modelli tradizionali ai modelli di apprendimento automatico

La lunga collaborazione degli analisti numerici con i colleghi del DIEF è documentata da pubblicazioni e cooperazione in progetti. Alla ricerca con strumenti di analisi numerica tradizionali si è recentemente affiancata quella basata su tecniche di intelligenza artificiale e apprendimento automatico.

Simulazione di impianti industriali e del contatto ruota-rotaia

L’attività di ricerca del gruppo NODA ha maturato un’esperienza ventennale nella risoluzione numerica di sistemi di equazioni e minimi quadrati non lineari con vincoli semplici sulle variabili (Carcasci et al. 2016; Marini, Morini, Porcelli 2018; Meli, Morini, Porcelli 2022; Shi et al. 2023). Per questi problemi sono stati sviluppati diversi algoritmi di cui sono state studiate le proprietà teoriche e la cui implementazione è stata messa a disposizione della comunità scientifica, vedi ad es. i codici STRCNE, TRESNEI, CoDosol.

In particolare, TRESNEI è stato ampiamente utilizzato anche in ambito ingegneristico nel corso di collaborazioni con il gruppo MEVS (Multi Energy Vector Systems Group) e la sezione di Meccanica Applicata del DIEF. Nella prima collaborazione, TRESNEI è stato utilizzato nella simulazione di impianti energetici e di distribuzione del gas. Infatti, processi industriali complessi richiedono strumenti accurati e flessibili per la simulazione di impianti che danno luogo a modelli e codici modulari. Le configurazioni possibili dell’impianto sono definite da una libreria di componenti elementari e ogni componente dell’impianto è descritta da equazioni non lineari che modellizzano le leggi meccaniche e termodinamiche fondamentali. La risoluzione numerica di queste equazioni fornisce le proprietà fisiche (es. temperatura, pressione), la composizione del fluido e le performance dell’impianto (es. salto di pressione). Analogamente, i modelli per le reti di distribuzione del gas naturale sono descritti dalle leggi di conservazione della massa e equazioni per il calcolo delle perdite di carico. La risoluzione numerica di questi modelli richiede la risoluzione di sequenze di sistemi non lineari vincolati, la cui struttura è definita dalla particolare configurazione della rete gas.

Nella seconda collaborazione, il codice TRESNEI è stato utilizzato nella risoluzione di un modello per il contatto tra corpi elastici (ruota-rotaia) volta a determinare l’area di contatto tra i due corpi e la suddivisione di area di adesione e di scivolamento, e le corrispondenti pressioni normali e tangenziali. TRESNEI è stato incluso nel software Simpack Multibody Simulation utilizzato dagli ingegneri per l’analisi dinamica di sistemi meccanici e meccatronici.

Figura 89 – In alto la ricostruzione dell’impronta di contatto ruota-rotaia in un istante temporale della simulazione (in rosso l’area di contatto e in blu quella di scivolamento). In basso un esempio di veicolo usato come test case nella sperimentazione numerica.